予想とは？/ アットローン
[ 1482] ポアンカレ予想 - Wikipedia
[引用サイト] http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
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このようにポアンカレ予想をn次元に一般化するとn=2での成立は古典的な事実であり、n?4の場合は既に証明が得られている。n?5の時はスティーヴン・スメイルによって（1960年）、n=4の時はマイケル・フリードマンによって（1981年）証明された。両人とも、その業績からフィールズ賞を受賞している。スメールの証明は微分位相幾何学的なものであったが、フリードマンの証明は純粋に位相幾何学的なものである。実際、フリードマンの結果はその直後にドナルドソンによる異種4次元ユークリッド空間（位相的には通常の4次元空間だが、微分構造が異なるもの）の発見へとつながった。以上よりオリジナルである3次元ポアンカレ予想のみを残し、高次元ポアンカレ予想は先に決着してしまった（もっとも、微分同相については4次元ポアンカレ予想も未解決と言われる）。 数学的に厳密ではないが、たとえて言えば、宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、宇宙の形は概ね球体（＝ドーナツ型のような穴のある形、ではない）と言えるのか、という問題である。 3次元ポアンカレ予想についてウィリアム・サーストンの幾何化予想（サーストンのプログラム）があり、これは3次元多様体の分類に関するものである。この予想は3次元ポアンカレ予想を含み、大変壮大なものである。 2002年から2003年にかけて当時ステクロフ数学研究所に勤務していたロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはポアンカレ予想を証明したと主張し、論文をプレプリント投稿サイトとして著名なarXivにて公表した。その中で彼はリチャード・ストレイト・ハミルトンが創始したRicci flowの理論に「手術」と呼ぶ新たな手法を付け加えて拡張し、驚くべきことにサーストンの幾何化予想を解決してその系としてポアンカレ予想を解決した（と宣言した）。 非常に単純に言えば、幾何化予想とは、多様体を幾つかのピースに分割し、そのピース毎に幾何的性質を調べるというものである。一方で、Ricci flowを用いたときに、ピースから全体を構成しなおすときに特異点が発生する可能性がある。ペレルマンはこの特異点の発生条件と特異点の性質を調べ、特異点が発生しないような手法を考えた。それが手術といわれる方法である。 それ以来ペレルマン論文に対する検証が複数の数学者チームによって試みられた。原論文が理論的に難解でありかつ細部を省略していたため検証作業は難航したが、2006年5〜7月にかけて3つの数学者チームによる報告論文が出揃った。 これらのチームは何れもペレルマン論文は基本的に正しく致命的誤りは無かったこと、また細部のギャップについてもペレルマンの手法によって修正可能であったという結論で一致した。これらのことから、現在では少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。 殆どの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者達は、「まず、ポアンカレ予想を解かれた事に落胆し、それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれた事に落胆し、そして、その解の解説が全く理解できない事に落胆した」という。[1] 2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。ただし本人はこれを辞退。現在は人付き合いを嫌い サンクトペテルブルグに引き篭もっている。 米クレイ数学研究所（CMI）はポアンカレ予想をミレニアム懸賞問題の一つに指定し、証明した者に100万ドル（約1億1000万円）の賞金を与えると発表している。ここでペレルマンが本賞を受賞するのかどうかが一部の関心を呼んでいる。ただし、彼は賞金を受け取る条件である｢査読つき専門雑誌への掲載｣をしておらずまた彼の証明はあくまでも要領を発表したに過ぎないという説もあり、賞金を手にするとは限らない（ペレルマン自身が賞金に興味を示していないとも噂される）。 CMIの規定では受賞資格者は必ずしも専門誌に掲載された論文の直接的な執筆者に限られる訳ではない。ペレルマンが変則的な発表手段を採り、arXivへの掲載のみに留めて専門誌に投稿していないというそのこと自体は、彼が受賞する上での障害とはならない。CMIは何れにしてもあらゆる素材を吟味して証明の成否を判定し、然る後初めて授賞を検討するようである。 |
[ 1483] リーマン予想 - Wikipedia
[引用サイト] http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
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リーマン予想（Riemann Hypothesis、リーマン仮説、単にRHとも略される）とは、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンのゼータ関数の零点の分布に関する予想である。数学上の未解決問題のひとつであり、クレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとしてリーマン予想の解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払うことを約束している。 リーマンは素数の分布に関する研究を行っている際に、オイラーが研究していた以下の級数をゼータ関数と名づけ、解析接続を用いて複素数全体への拡張を行った。 なお素数定理は、リーマン予想と同値な近似公式[1]からの帰結であるが、素数定理自体はリーマン予想がなくとも証明できる。この注意は歴史的には重要なことで、実際リーマンがはっきりとは素数定理を証明できなかった理由はリーマン予想の正否にこだわっていたためであると思われている（素数分布とのゼータ関数との関係は、ゼータ関数や素数定理、リーマンの素数公式の項を参照のこと）。 最近では、虚部が小さい方から約15億個までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。しかし無限にある零点からみれば、たかだか有限の数表などは零点分布の真の姿を反映するには至らないと、この計算結果に対して慎重な数学者もいる。とはいえ現在では多くの数学者が（当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに）リーマン予想は正しいと考えているようだが、歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいる。 1859年にリーマンは論文「与えられた数より小さい素数の個数について」を発表し、その中でリーマン予想を提示した。リーマン自身はその証明を試みて成功しなかったことを認めているが、中間的な結果として、ゼータ関数の自明でない零点の実数部が 1/2 について対称であり、かつ 0 から 1 の間（境界を含む）にしか存在しないことを示していた。 1896年にド・ラ・ヴァレ・プーサンとアダマールが独立に素数定理を証明したが、それはゼータ関数の自明でない零点の実数部が 1 になりえないことの証明によるものだった。よって自明でない零点の実数部の範囲は、境界を含まないところまで狭められた。 1900年にパリで開かれた第2回国際数学者会議でヒルベルトは数学上の未解決の問題23題（ヒルベルトの23の問題）を提起した。リーマン予想はこの内、素数の分布に関する8番目の問題に含まれている。 2004年6月に米パデュー大学の数学者ルイ・ド・ブランジュがリーマン予想を証明したと発表した[2]。しかし彼は既に幾度も証明を主張し反証されており[3]、今回も同様の手法をとっているため、見込みは薄いと考えられている。 ^ 素数の個数関数 π(x) の対数積分による近似公式を指す。同値命題の節の第一の命題を参照。リーマンの素数公式より、π(x) の対数積分による近似の誤差項は、ゼータ関数の零点がクリティカル・ストリップの両端から遠ければ遠いほど小さくなることが分かる。この距離が最大限に遠い、即ち全てのゼータ零点がクリティカル・ストリップの中心線上に整列しており、近似の誤差がその方針で考え得る限り最も小さくなるだろうということが、リーマン予想のそもそもの意味である。 |
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